Límites infinitos

Límites infinitos cuando x tiende a un número real

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Como hemos visto, si queremos estudiar como se comporta una función f en un punto a nos interesa estudiar el limite de la función en a. En límites ya estudiamos cuando estos valores son reales, ahora vamos a ver que ocurre si el límite es infinito.
Mucho más formalmente (coge papel y lapiz y escribe la definición antes de asustarte).
$$ Una funci\'on f tiene por limite a $+\infty$ cuando x tiende a \textit{a} por la izquierda (por la derecha) si para todo n\'unero real K existe un entorno lateral a la izquierda (derecha) de \textit{a} E^{-}(a,\delta)$ (E^+(a,\delta))$ de modo que para todo x perteneciente a este entorno se verifica que f(x) es mayor que K. Simb\'olicamente: \newline \lim_{x \to x_0^-}{f(x)}=+\infty \Leftrightarrow \forall K \in R, \exists \delta>0 | \forall x \in E^-(x_0,\delta) \Rightarrow f(x)>K $$

$$ Una funci\'on f tiene por limite a -\infty $ cuando x tiende a \textit{a} por la izquierda (por la derecha) si para todo n\'unero real M existe un entorno lateral a la izquierda (derecha) de \textit{a}$ E^{-}(x_0,\delta)$ de modo que para todo x perteneciente a este entorno se verifica que f(x) es menor que M. Simb\'olicamente: \newline \lim_{x \to x_0^-}{f(x)}=-\infty \Leftrightarrow \forall K \in R, \exists \delta>0 | \forall x \in E^-(x_0,\delta) \Rightarrow f(x) $$


Propuesta de trabajo:
Hemos visto el comportamiento de las funciones cuando se aproximan a a por la derecha y por la izquierda. Te proponemos que escribas formalmente qué tiene que ocurrir para que una función tienda a +∞ en el punto a.

Límites finitos en el infinito

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Hemos visto que ocurre cuando hacemos que x tienda a un numero real a. Nos interesa estudiar que ocurre para valores muy grandes de x. A eso es a lo que llamamos que x tienda a infinito. Lo denotaremos como:
$$ \lim_{x\rightarrow+\infty} = L $$
Vamos con una definición formal:
$$ Una funci\'on f tiene por l\'imite un n\'umero real L cuando x tiende a $+\infty$ si para todo $\varepsilon$ positivo existe un n\'umero real K, de modo que para cualquier valor de x mayor que K se verifica que f(x) est\'a en el entorno $E(L,\varepsilon)$. Simb\'olicamente: $\lim_{x \to +\infty}{f(x)}=L \leftrightarrow \forall \epsilon >0, \exists K \in R | \forall x>K \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

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Límites infinitos en el infinito

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Para finalizar las divergencias, nos queda ver que ocurre si la función toma valores grandes para valores grandes de x (cuando hablamos de valores grandes, también nos referimos a valores muy grandes negativos.)
$$ Una funci\'on f tiende a +\infty$ cuando x tiende a +\infty$ si para todo n\'umero real K existe un n\'umero real M, de modo que para cualquier x mayor que M se verifica que f(x) es mayor que K. Simb\'olicamente$: \newline$ \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \Leftrightarrow \forall K \in \mathbb{R}, \exists M \in \mathbb{R} | \forall x>M \Rightarrow f(x)>K $$