El límite de una función f(x) en un punto a es el número L hacia el que tienden o se aproximan los valores que toma la función cuando la variable independiente x se acerca o se aproxima al punto a.
Propiedades del límite:
Una función f tiene por límite L en un punto de abscisa x=a si tiene límite lateral por la izquierda, límite lateral por la derecha y ambos sean iguales.
Si una función f tiene límite, este límite es único.
Una función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.
Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a si para todo entorno E(L,ε) existe un entorno E(a,δ), de modo que para todo x perteneciente al entorno reducido E*(a,δ) se cumple que f(x) pertenece al entorno E(L,ε). Simbólicamente:
Límites laterales
A veces nos podemos encontrar funciones en las cuales no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funcines están definidas de diferente manera a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites necesitamos los límites laterales:
Límite lateral por la izquierda:
El límite de una función f(x) por la izquierda en un punto a es el núnmero hacia el que tienden o se aproximan los valores que toma la función cuando x se aproxima al punto a por la izquierda, es decir, vamos escogiendo los x que son un poco más pequeños que a.
Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a por la izquierda si para todo entorno E(L,ε) existe un entorno lateral a la izquierda de a, E-(a,δ), de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral se verifica que f(x) pertenece al entorno E(L,ε). O lo que es lo mismo:
Límite lateral por la derecha: El límite de una función f(x) por la derecha en un punto a es el número hacia el que tienden o se aproximan los valores que toma la función cuando x se aproxima al punto a por la derecha, es decir, vamos escogiendo los x que son un poco más grandes que a.
Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a por la derecha si para todo entorno E(L,ε) existe un entorno lateral a la derecha de x0, E+(x0,δ), de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral se verifica que f(x) pertenece al entorno E(L,ε). O lo que es lo mismo:
Enlaces para comprobar si has asimilado los conceptos:
Límite de una función
El límite de una función f(x) en un punto a es el número L hacia el que tienden o se aproximan los valores que toma la función cuando la variable independiente x se acerca o se aproxima al punto a.
Propiedades del límite:
Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a si para todo entorno E(L,ε) existe un entorno E(a,δ), de modo que para todo x perteneciente al entorno reducido E*(a,δ) se cumple que f(x) pertenece al entorno E(L,ε). Simbólicamente:
Límites laterales
A veces nos podemos encontrar funciones en las cuales no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funcines están definidas de diferente manera a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites necesitamos los límites laterales:
- Límite lateral por la izquierda:
El límite de una función f(x) por la izquierda en un punto a es el núnmero hacia el que tienden o se aproximan los valores que toma la función cuando x se aproxima al punto a por la izquierda, es decir, vamos escogiendo los x que son un poco más pequeños que a.Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a por la izquierda si para todo entorno E(L,ε) existe un entorno lateral a la izquierda de a, E-(a,δ), de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral se verifica que f(x) pertenece al entorno E(L,ε). O lo que es lo mismo:
Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a por la derecha si para todo entorno E(L,ε) existe un entorno lateral a la derecha de x0, E+(x0,δ), de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral se verifica que f(x) pertenece al entorno E(L,ε). O lo que es lo mismo:
Enlaces para comprobar si has asimilado los conceptos:
Ejercicios sobre límites
Ejercicios sobre límites1
Soluciones de límites1