Definición de funciones en variable real. Dominios

Funciones reales de variable real

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Una función real de variable real es una relación según la cual a cada elemento de un subconjunto de R (variable independiente x), llamado dominio de la función, Dom f, le corresponde uno y sólo un elemento de otro subconjunto de R (y =f(x)), llamado conjunto imagen o recorrido de la función, Im f.

Una función real de variable real se puede expresar de la siguiente forma:

$\begin{matrix} f : && \mathbb{R} && \longrightarrow && \mathbb{R} \\ && x && \longmapsto && y=f(x) \\ \end{matrix}$

La función se llama real porque el conjunto final es R y se llama de variable real porque el conjunto inicial es R.

Dominio de las funciones más usuales

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$$\textbf{Funciones racionales enteras o polin\'omicas}. El dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los n\'umeros reales. \newline \textbf{Funciones racionales fraccionarias}. El dominio de estas funciones es el conjunto de los n\'umero reales, excluidos los ceros o ra\'ices del denominador (los valores de x para los que se anula el denominador). \newline \textbf{Funciones irracionales del tipo $f(x)= \sqrt[n]{g(x)}$ }. Si n es impar, el dominio de f coincide con el dominio de g(x), y si n es par, el dominio de f es el conjunto de n\'umeros reales tales que g(x)\geq 0$. $$Dom(f)=\mathbb{R}\mbox{ si }n\mbox{ impar;}$$ $$Dom(f)={ x\in \mathbb{R}\,|\,g(c)\geq} \mbox{ si }n\mbox{ par}$$ \textbf{Funciones trigonom\'etricas}. Las del tipo f(x)=\sin[g(x)]$ y f(x)=\cos[g(x)]$ tienen por dominio el dominio de g(x). \newline Las funciones del tipo f(x)=\tan[g(x)]$ tienen por dominio: $$Domf=\left\lbrace x\in \mathbb{R}\, |\, g(x)\neq \dfrac{\pi}{2}+K\pi \mbox{ con } K\in\mathbb{Z} \right\rbrace$$ \textbf{Funciones exponenciales}. El dominio de estas funciones, f(x)=a^{g(x)}$ con $a<0$ y a\neq1$, coincide con el dominio de g(x). \newline \textbf{Funciones logar\'itmicas}. El dominio de este tipo de funciones, f(x)=\log_a[g(x)]$ con $a>0$ y a\neq1$, es el subconjunto de los n\'umeros reales tales que hacen g(x) positivo. $$Domf=\left\lbrace x\in \mathbb{R} | g(x)>0 \right\rbrace$$ $$

Enlaces para comprobar si has asimilado los conceptos:

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Ejercicios sobre dominios