Composición de funciones. Función inversa

Composición de funciones

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Dadas dos funciones f y g, con Im(f) C Dom(g), se llama función compuesta de la función f con la función g (o f compuesta con g) a la función gºf que cumple (atención a como se lee):

Propiedades

Las propiedades más características de la composición de funciones son:

• Propiedad asociativa. Tres funciones cualesquiera, f, g y h, que se puedan componer verifican:

$h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$

• Propiedad no conmutativa. La composición de funciones, en general, no es conmutativa.

$g\circ f \neq f\circ g$

Función inversa

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La función inversa de una función inyectiva f se representa por f -1 y es la función que cumple:
$f^{-1}(y)=x \quad \mbox{si y solo si} \quad f(x)=y$
para cualquier x perteneciente al Dom(f).

Propiedades

Las propiedades más características que verifican una función y su inversa son las siguientes:

• Siendo I la función identidad:

$f\circ f^{-1}=f^{-1} \circ f =I$

• Las gráficas de una función f y de su inversa f -1, referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrante.

Cómo calcular la inversa de una función:

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1. Despejamos la variable x.
2. Cambiamos la x por la y y la y por la x.
3. La función inversa es: y = f -1(x)