Asíntotas

Cómo se comportan las gráficas de las funciones cuando x crece infinitamente, y crece infinitamente o cuando ambas crecen infinitamente:

Asíntotas verticales

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La recta x = a es una asíntota vertical de la función f cuando existe al menos uno de los seis siguientes límites:
$\begin{matrix} \lim_{x\to a^-} {f(x)} = +\infty && \lim_{x\to a} {f(x)} = + \infty\ && \lim_{x\to a^+} {f(x)} = +\infty \\ \lim_{x\to a^-} {f(x)} = - \infty && \lim_{x\to a }{f(x)} = - \infty\ && \lim_{x\to a^+ } {f(x)} = - \infty \\ \end{matrix} \newline$

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$f(x)=\ln(x^2-9)\qquad \mbox{As\'intotas verticales:} \quad x=-3 \; x=3$

Asíntotas horizontales

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La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f cuando existe al menos uno de los siguientes límites:

$\lim_{x\to +\infty} {f(x)} = b \ \lim_{x\to -\infty} {f(x)} = b$

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$f(x)= \dfrac{x^2-3x+2}{x^2+1}\qquad \mbox{As\'intota horizontal:}\; y=1$

Asíntotas oblícuas

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La recta y = mx+b es una asíntota oblicua de la función f cuando la pendiente m y la ordenada en el origen pueden obtenerse mediante los siguientes límites:

$m=\lim_{x \to +-\infty}{f(x)\over x}\ \ b=\lim_{x \to +-\infty}{[f(x)-mx]}$

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$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x} \quad \mbox{As\'intota obl\'icua: } y=x$

Ramas parabólicas

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La función f tiene una rama parabólica cuando existe al menos uno de los siguientes límites y no existen asíntotas oblicuas:
$\lim_{x\to -\infty} {f(x)} = -\infty\ \lim_{x\to -\infty} {f(x)} = +\infty \newline \lim_{x\to +\infty} {f(x)} = -\infty\ \lim_{x\to +\infty} {f(x)} = +\infty$

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$f(x)=xe^x \quad \mbox{Rama parab\'olica cuando: }x\rightarrow+\infty$